ファジィ集合理論: 基礎と応用

By Fouad Sabry

ファジー集合理論とは

数学の分野では、ファジー集合は、さまざまな程度のメンバーシップを持つ構成要素を含む集合として定義されます。 Lotfi A. Zadeh は 1965 年にファジー集合の概念を独自に開発し、伝統的な集合の概念の拡張として世界に提示しました。この同じ時期に、Salii (1965) は彼が言及したより広範な種類の構造を定義しました。 L関係として。 彼はこの構造を抽象代数の枠組みで調べました。 ファジィ関係は現在ファジィ数学全体で利用されており、言語学、意思決定、クラスタリングなどの分野で応用されており、L が単位間隔 [0, 1] の場合の L リレーションの特別な例です。 ファジィ関係は、言語学、意思決定、クラスタリングなどの分野に応用できます。

どのようなメリットがあるか

(I) 洞察と検証 次のトピック:

第 1 章: ファジー集合

第 2 章: カルーザ?クライン理論

第 3 章: ディラック方程式

第 4 章: 応力?エネルギー テンソル

第 5 章: ファジィ制御システム

第 6 章: 測定可能な基数

第 7 章: ラドン?ニコジム定理

第 8 章: 安定分布

第 9 章: 4 勾配

第 10 章: ピアソン分布

(II) ファジィ集合論に関する一般のよくある質問に答える

(III) 多くの分野におけるファジィ集合論の使用例。

本書の対象者

専門家、大学生、大学院生、愛好家、愛好家、 あらゆる種類のファジィ集合論に関する基本的な知識や情報を超えたい人。

 

• Language: 日本語
• Publisher: 10億人の知識があります [Japanese]
• Release date: Jun 25, 2023

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第1章: ファジー集合

数学では、「 ファジィ集合」として知られています。

メンバーがさまざまな程度のメンバーシップを持つセットは、「不確定セット」と呼ばれます。.

ロトフィA.自分でファジーセットを紹介します。

これは、1965年にZadehによって、従来のセットのアイデアの拡張として開発されました。

そうしている間、Salii(1965)によって定義されたL関係は、より広いタイプの構造であり、彼は純粋に数学的なレベルで調査しました。

言語学やファジィ数学(De Cock)、Bodenhofer and Kerre (2000)、意思決定(Kuzmin 1982)、グルーピング(Bezdek 1978)などの分野で近年広く使用されているファジィ関係は、 Lが単位区間[0, 1]である場合のL関係の特別な場合です。

集合論の基本概念である集合の要素メンバーシップは、要素が集合に属するか属さないかのバイナリ条件を使用して評価されます。

対照的に、集合のメンバーシップは、ファジィ集合論を使用して暫定的に決定できます。これは、実単位間隔 [0, 1] で値されるメンバーシップ関数を使用して記述されます。

古典集合はファジィ集合の特別な場合であり、古典集合の指標関数はファジィ集合のメンバーシップ関数の特別な例であるため、後者が0または1のいずれかにしかなれない場合は、次のようになります。

ファジー集合は、 (U,m) U が集合(しばしば空でないことが要求される)と {\displaystyle m\colon U\rightarrow [0,1]} メンバーシップ関数のペアです。

参照セット U (または \Omega X で表されることもあります)は談話の宇宙と呼ばれ、それぞれの x\in U, 値は m(x) のメンバーシップのグレード x と呼ばれます (U,m) 。

この関数は {\displaystyle m=\mu _{A}} 、ファジィ集合のメンバーシップ関数と呼ばれます {\displaystyle A=(U,m)} 。

有限集合の場合 U=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}, 、ファジィ集合 (U,m) はしばしば次のように表されます。

\{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.

しましょう x\in U 。

その後 x 、

ファジィ集合に含まれ (U,m) ない m(x)=0 if (メンバーなし)、完全に含まれる if (完全なメンバー)、部分的に含まれる m(x)=1 if (ファジー メンバー)。 0

ユニバース上のすべてのファジー集合の(鮮明な)集合 U は、 {\displaystyle SF(U)} (または単に F(U) ) で表されます。

任意のファジー集合 {\displaystyle A=(U,m)} と \alpha \in [0,1] 次のクリスプ集合が定義されています。

{\displaystyle A^{\geq \alpha }=A_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)\geq \alpha \}}

そのαカット(別名αレベルセット)と呼ばれます

{\displaystyle A^{>\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)>\alpha \}}

その強いαカット(別名強いαレベルセット)と呼ばれます

{\displaystyle S(A)=\operatorname {Supp} (A)=A^{>0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}}

そのサポートと呼ばれます

{\displaystyle C(A)=\operatorname {Core} (A)=A^{=1}=\{x\in U\mid m(x)=1\}}

その コア (または時には カーネル {\displaystyle \operatorname {Kern} (A)} )と呼ばれます。

「カーネル」という単語の解釈は作者によって異なることを覚えておくことが重要です;例については、以下を参照してください。

ファジー集合 {\displaystyle A=(U,m)} が空である ( {\displaystyle A=\varnothing } ) iff (if かつ if のみ)

\forall

{\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0}

2つのファジー集合 A であり、 B 等しい ( A=B )iff

{\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)}

ファジィ集合は A ファジィ集合 ( B ) iff A\subseteq B に含まれる

{\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}

任意のファジィ集合 A に対して、 を満たす任意の要素 x\in U

{\displaystyle \mu _{A}(x)=0.5}

私たちが「クロスオーバー」と呼んでいるものです。

ファジー集合 が与えられた A とき、 が \alpha \in [0,1]

{\displaystyle A^{=\alpha }=\{x\in U\mid \mu _{A}(x)=\alpha \}}

空でないものは A レベルとして分類される。

A のレベル セットは、個別のカットを表す \alpha \in [0,1] すべてのレベルのセットです。

のイメージです \mu _{A} :

{\displaystyle \Lambda _{A}=\{\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}}

\exist

{\displaystyle x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)}

ファジィ集合の場合 A 、具体的には、その高さは

{\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=\sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))}

ここで \sup 、 は超越を表し、 {\displaystyle \mu _{A}(U)} は空ではなく、1 より上に有界であるために存在する。

有限Uを仮定すると、最大値を超越性に簡単に置き換えることができます。

ファジィ集合 A は正規化された iff と言われます。

{\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=1}

最高点が超越点である有限の場合に関して、ファジィ集合の少なくとも1つのメンバーがメンバーシップのすべての基準を満たしていること。

空でないファジィ集合は、ファジィ集合のメンバーシップ関数をその高さで割ることによって A {\tilde {A}} 、結果で正規化できます。

{\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt} (A)}

正規化定数は数値のままですが、標準の正規化とは異なり、合計ではありません。

有界サポートを持つ A 実数(U ⊆ R)のファジー集合の場合、幅の定義:

{\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\sup(\operatorname {Supp} (A))-\inf(\operatorname {Supp} (A))}

{\displaystyle \operatorname {Supp} (A)} が有限集合、または広義の完全集合である場合、幅は理想的である

{\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\max(\operatorname {Supp} (A))-\min(\operatorname {Supp} (A))}

n次元の場合(U⊆Rn)は、上記のn次元体積で置き換えることができます {\displaystyle \operatorname {Supp} (A)} 。

一般に、uに基づく任意のメトリックを使用して、たとえば、(like.

のルベーグ積分)の {\displaystyle \operatorname {Supp} (A)} 。

実ファジィ集合 A (U ⊆ R)は凸であると言われ ます(ファジィな意味では、(鋭い凸集合と区別するため)、iff

{\displaystyle \forall x,y\in U,\forall \lambda \in [0,1]:\mu _{A}(\lambda {x}+(1-\lambda )y)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}

.

範囲を狭めることなく、x ≤yを取ることができます。 これにより、対応する式が提供されます

{\displaystyle \forall z\in [x,y]:\mu _{A}(z)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}

.

この定義は、一般位相空間 U に対して 1 に拡張できる: ファジィ集合 A が凸であると言うとき、U が部分集合 Z を持つ場合、条件

{\displaystyle \forall z\in Z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))}

が成り立ち、 {\displaystyle \partial Z} は Z  の境界を表し、 {\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}} は関数 f  (ここ )の下の集合 {\displaystyle \partial Z} X (ここで )の像を表す \mu _{A} 。

ファジー集合の補数を定義する方法についてはコンセンサスがありますが、和集合と交差の操作はより解釈の余地があります。

与えられたファジィ集合 A に対して、その補集合  ( {\displaystyle \neg {A}} または と A^{c} 表記されることもある {\displaystyle cA} ) は、次のメンバーシップ関数によって定義されます。

{\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}

.

tをtノルムとして受け入れ、sはそれに伴うsノルム(別名t-コノルム)です。

ファジィ集合のペアが与えられたとき A,B 、それらの 交点は {\displaystyle A\cap {B}} 次のように定義されます。

{\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cap {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}

であり、それらの 和集合 {\displaystyle A\cup {B}} は次のように定義されます。

{\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=s(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}

.

tノルムは次のように定義され、 和集合と交点は可換、単調、結合であることが示され、それらは空白と自己参照成分の両方を含む。

交差点については、これらはそれぞれ∅とUですが、組合員は、これは後方です。

ただし、Uはファジィ集合とその補集合の和集合ではない可能性があり、それらの交点は空集合∅を与えない可能性があります。

和集合と交差の間の結合性により、ファジィ集合の有限族に対して交差と和集合を再帰的に定義することは直感的です。

標準 {\displaystyle n(\alpha )=1-\alpha ,\alpha \in [0,1]} 否定子を別の強い否定子に置き換えると、ファジィ集合差を次のように一般化することができます。

{\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).}

ファジィ集合の交点、和集合、補集合は、ド・モルガン・トリプレットを構成する。この三重積分は、ド・モルガンの法則によってカバーされています。

t-normsの記事のサンプルは、標準否定子を持つファジー交差/和集合ペアの例を構築するために使用できます。

通常のtノルムの最小値のみがべき等の性質を満たすため、ファジィ交点は一般に使用できません。確かに、結果のファジー交差演算は、算術乗算がtノルムとして採用されている場合、べき等ではありません。ファジー集合とそれ自体の交点を繰り返し取ることは簡単な作業ではありません。代わりに、標準的な方法で非整数指数に拡張できるファジー集合のm乗の定義が得られます。

任意のファジィ集合に対して A 、 {\displaystyle \nu \in \mathbb {R} ^{+}} の ν 乗 A はメンバーシップ関数によって定義される:

{\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.}

指数2が発生する状況には特定の名前があります。

任意のファジィ集合に対して A 、