イベント微積分: 基礎と応用

By Fouad Sabry

事象微積分とは

事象微積分を 1986 年に最初に開発したのはロバート コワルスキーとマレック サーゴットです。事象微積分は、事象とその影響を次のように表すための論理言語です。 それらの出来事とその影響について考えるためにも。 1990 年代のその拡大に責任を負ったのは、マレー シャナハンとロブ ミラーでした。 イベント計算は、変化について考えるための他の言語と同等の方法で、流暢な言語に対するアクションの影響を記述します。 一方、イベントは必ずしもシステム内部にあるわけではありません。 イベント計算を使用すると、特定の指定された時点での流暢さの値、その時点で発生するイベント、およびそれらのイベントの影響を表現できます。

どのようなメリットがあるか

(I) 以下のトピックに関する洞察と検証:

第 1 章: イベント計算

第 2 章 : 一階論理

第 3 章: フレーム問題

第 4 章: 自然演繹

第 5 章: オープン公式

第 6 章 : 分析タブローの方法

第 7 章: 状況計算

第 8 章: 流暢 (人工知能)

第 9 章: 原子式

(IV) イベント微積分のテクノロジーを 360 度完全に理解できるように、各業界の 266 の新興テクノロジーを簡潔に説明する 17 の付録。

この本の対象者

専門家、学部生および大学院生、愛好家、愛好家、およびあらゆる種類の事象微積分の基本的な知識や情報を超えたいと考えている人。

 

• Language: 日本語
• Publisher: 10億人の知識があります [Japanese]
• Release date: Jun 30, 2023

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第 1 章: 事象計算

Robert KowalskiとMarek Sergotは、1986年にイベントとその効果をエンコードして考えるための論理言語であるイベント計算を導入しました。イベント計算は、変化について考えるための他の言語と同様の方法で、流暢な人に対する行動の影響を表現します。ただし、イベントはシステムの外部でも発生する可能性があります。特定の時点での流暢さの値、特定の時点で発生するイベント、およびそれらの影響はすべて、イベント計算で指定できます。

不測の事態のための微積分、流暢なリファイド。

これは、述語ではなく関数を使用して形式化することを意味します。

別の述部が真です。特定の時間にアクティブな流暢さを判断するには、atを使用します。

たとえば、

{\displaystyle {\mathit {HoldsAt}}(on(box,table),t)}

ボックスが時刻 t にテーブル上にあることを意味します。この式では、HoldsAt は述語で、on は関数です。

イベントは、用語を使用して表現することもできます。

述語の開始と終了は、イベントの結果を提供するために使用されます。

特に {\displaystyle {\mathit {Initiates}}(e,f,t)} 、単語eで表されるイベントの発生が時刻tで発生した場合、tの後、流暢なfが真になることを意味します。

Terminates 述語の意味も同様で、f は t の後に偽になりますが、これが唯一の違いです。

イベント計算は、アクションを表すための他の言語と同様に、任意のアクションが実行された後の各流暢な値を記述する式によって、流暢さの正しい発達を形式化します。シナリオの後続状態の仮定は、イベント計算がフレームの問題を解決する方法に匹敵します。微積分:流暢な人は、以前に真になり、その後偽にされなかった場合にのみ、時間tで真になります。

{\displaystyle {\mathit {HoldsAt}}(f,t)\leftarrow [{\mathit {Happens}}(e,t_{1})\wedge {\mathit {Initiates}}(e,f,t_{1})\wedge (t_{1}<t)\wedge \neg {\mathit {Clipped}}(t_{1},f,t)]}

この式によれば、項fによって象徴される流暢さは、次の場合に時刻tで真です。

イベント e が発生しました {\displaystyle {\mathit {Happens}}(e,t_{1})} : ; これは過去に発生しました {\displaystyle {\mathit {t}}_{1}

流暢な人が特定の瞬間に真実ではないという逆の状況を形式化するために、同様の公式が採用されます。

イベントの影響になる前に流暢さを正しく形式化するには、さらなる公式も必要です。

これらの数式は前の数式に似ていますが、

{\displaystyle {\mathit {Happens}}(e,t_{1})\wedge {\mathit {Initiates}}(e,f,t_{1})}

{\displaystyle {\mathit {HoldsAt}}(f,t_{1})} に置き換えられます。

ショートカットとして、フルーエントが間隔中に偽になったことを示すクリップされた述語は、次のように公理化できます。

{\displaystyle {\mathit {Clipped}}(t_{1},f,t_{2})\equiv \exists e,t[{\mathit {Happens}}(e,t)\wedge (t_{1}\leq t<t_{2})\wedge {\mathit {Terminates}}(e,f,t)]}

前述の公理は、述語HoldsAtの重要性をリンクします, 開始と終了, ただし、どの流暢さが真であることが知られており、どのイベントが実際に流暢さを真または偽にするかについては述べていません.

一連のドメイン依存公理を使用して、これは達成されます。

流暢な人の既知の値は、単純なリテラルとして述べられています {\displaystyle {\mathit {HoldsAt}}(f,t)} 。

イベントの影響とその前提条件をリンクする式は、イベントの影響を示すために使用されます。

たとえば、オープンイベントによってisopen流暢が真になるが、haskeyの現在の状態が真である場合、イベント計算の等価式は次のようになります。

{\displaystyle {\mathit {Initiates}}(e,f,t)\equiv [e=open\wedge f=isopen\wedge {\mathit {HoldsAt}}(haskey,t)]\vee \cdots }

この等価性の右手の表現は選言で構成されています:イベントが真にすることができる各イベントと流暢さについて、eが実際にはそのイベントであり、fが実際には流暢であり、イベントの前提条件が満たされていることを示す選言が右側の式を構成します。

上記の式は、 {\displaystyle {\mathit {Initiates}}(e,f,t)} 考えられるすべてのイベントと流暢さに対するの真理値を指定します。

その結果、各イベントの影響を 1 つの数式に組み込む必要があります。

新しいイベントを説明するために既存の数式を変更すると、新しいイベントを追加するよりも時間がかかるため、これは困難です。

それぞれが 1 つのイベントの 1 つの結果を指定する方程式のグループに外接を適用することで、この問題を解決できます。

{\displaystyle {\mathit {Initiates}}(open,isopen,t)\leftarrow {\mathit {HoldsAt}}(haskey,t)}{\displaystyle {\mathit {Initiates}}(break,isopen,t)\leftarrow {\mathit {HoldsAt}}(hashammer,t)}{\displaystyle {\mathit {Initiates}}(break,broken,t)\leftarrow {\mathit {HoldsAt}}(hashammer,t)}

上記の式と比較すると、各イベントの効果を個別に設定できるため、これらの式はより単純です。

どのイベントeと流暢なfが真になるかを示す単一の公式は、特定の出来事が流暢な出来事にどのように影響したかを説明する一連の小さな式に置き換えられました。 {\displaystyle {\mathit {Initiates}}(e,f,t)}

ただし、これらの式は上記の式と同じではありません。

実際、それらは十分な条件を指定するだけです {\displaystyle {\mathit {Initiates}}(e,f,t)} 真であるためには、他のすべてのシナリオでは開始が偽であるという認識によって終了する必要があります。

上記の式で述語Initiatesを単純に外接するだけで、この事実が形式化されます。

この制限は、開始を指定する数式にのみ適用されることを覚えておくことが重要です。特定の定義域から独立した公理には適用されません。

開始を定義する方法と同様に、述語は終了します。

Happen 述語も同様の方法で使用できます。この述語の評価は、それが真と偽であるときだけでなく、それ以上を記述する式によって強制することができます。

{\displaystyle {\mathit {Happens}}(e,t)\equiv (e=open\wedge t=0)\vee (e=exit\wedge t=1)\vee \cdots }

制限は、必要な要件の表現を許可するだけで、この定義を簡単にすることができます。

{\displaystyle {\mathit {Happens}}(open,0)}{\displaystyle {\mathit {Happens}}(exit,1)}

述語の定義 Occurs 、true であることが明示的に述べられていない場合、この述語は常に false になります。

この外接は、他の方程式の外接とは無関係に行う必要があります。

あるいは、Fが種類の式の集合である場合、Gは {\displaystyle {\mathit {Initiates}}(e,f,t)\leftarrow \cdots } 式の集合であり、定義域独立公理はHであり、定義域を表現する適切な方法は次のとおりです。 {\displaystyle {\mathit {Happens}}(e,t)}

{\displaystyle {\mathit {Circ}}(F;{\mathit {Initiates}},{\mathit {Terminates}})\wedge Circ(G;Happens)\wedge H}

イベント計算の初期形式は、失敗として否定で強化された一連のホーン句であり、Prologプログラムとして実行できました。補完セマンティクス(「if」は「ifとonlyif」として理解されます—論理プログラミングを参照)と外接セマンティクスは、失敗としての否定に適用できる多くのセマンティクスの2つです。

データベースの更新と物語への応用は、コワルスキーとセルゴットの最初のイベント計算研究の主な焦点でした。非決定論的アクション、同時アクション、遅延結果を伴うアクション、プログレッシブ変化、持続時間を伴うアクション、連続的変化、および非慣性流暢さはすべて、イベント計算の拡張を使用して形式化できます。

Kave Eshghiは、制約論理プログラミングを使用して、イベント計算を計画にどのように利用できるかを示しました。

マルコフ論理ネットワークベースのイベント計算は、別の重要な拡張です, Prologとそのバリエーション以外にも、イベント計算推論のための多数の代替ツールがあります:

アブダクティブイベント計算のプランナー

離散事象計算の推論者

イベント微積分解答セットのプログラミング

リアクティブイベント計算

ランタイム イベントの計算 (RTEC)

{第 1 章終了}

第 2 章: 一次論理

一次論理は、数学、哲学、言語学、およびコンピュータサイエンスの分野で使用される一連の形式システムです。一次論理の他の名前には、述語論理、量化論理、および一次述語計算が含まれます。一階論理では、量化された変数は非論理オブジェクトよりも優先され、変数を含む文の使用が許可されます。その結果、「ソクラテスは人間である」などの主張をするのではなく、「存在する」が量化子であり、「x」が変数である「xが存在する」という形式の表現を行うことができます。このように、命題論理は一階論理の基礎と考えることができます。

集合論、群の理論、または算術の形式理論などの主題に関する理論は、典型的には、特定の談話の領域(量化された変数の範囲)、その領域からそれ自体への有限個の関数、その領域で定義された有限個の述語、およびそれらについて保持されると信じられている一連の公理を備えた一次論理です。時には、より学術的な意味で、「理論」は一次論理の単語の集まりにすぎないと信じられています。

一次論理は、他の述語または関数を入力として取る述語を含む「一次」という単語の使用によって高階論理と区別されてもよいし、述語または関数に対して定量化が代替的に実行されてもよいし、またはその両方が許可される。:56 一階理論では、集合と述語が一緒に働くのがよく見られます。

その解釈を伴う高階理論では、述語をコレクションのコレクションと見なすことができます。

一次論理にはさまざまな演繹システムがあり、それらのほとんどは有効で健全であり、すべての検証可能な命題はすべてのモデルで真です)および完全(つまり、

すべてのモデルに当てはまる場合、任意の命題を証明することができます。

論理的帰結間のリンクは単に半決定可能であるという事実にもかかわらず、 一次論理では、自動定理証明は近年大きな進歩を遂げています。

さらに、一階論理は多くのメタロジー定理に準拠しているため、レーヴェンハイム・スコーレムの定理やコンパクト性定理などの証明理論のレンズを介して調べることができます。

数学を公理に形式化するための業界標準として機能する一階論理の研究は、数学的研究の基礎に含まれています。数論の一次論理への公理化はペアノ算術として知られており、集合論の一次論理への公理化はツェルメロ・フレンケル集合論として知られている。自然数や実数直線のような無限の定義域を持つ構造は、そのような理論がそうするために必要な力を欠いているため、一次理論では適切に記述できません。2階論理などのより強力な論理は、これらの構造の両方を分類的に完全に記述する公理システムを生成することを可能にします。これらはカテゴリ公理システムとして知られています。

ゴットロープ・フレーゲとチャールズ・サンダース・パースは、それぞれ1階論理の開発に大きく貢献した。

一階論理の発展とそれが形式論理を支配するようになった理由の詳細については、José Ferreirós(2001)を参照してください。

命題論理とは対照的に、一次論理は、述語と定量化にも対処しますが、より単純な宣言文に関係しています。

述語は、談話の領域内の1つ以上の事柄に基づいて真または偽のいずれかに評価されるステートメントです。「ソクラテスは哲学者である」と「プラトンは哲学者である」の両方が真実であるという事実について考えてください。これらのステートメントは、命題論理では互いに接続されていないと考えられているため、たとえばpやqなどの変数で表される可能性があります。これらの句はそれぞれ「aは哲学者である」という基本構造を持っており、これは「哲学者である」という述語が両方に現れることを意味します。最初のフレーズでは、変数anは「ソクラテス」という名前で表され、2番目の文では、変数anは「プラトン」という名前で表されます。この特定の例では、「哲学者である」などの述語の使用は、一階論理の枠組みの中で許容されますが、命題論理は許容されません。

論理接続詞は、述語間に存在する関係の性質を表現することを可能にします。たとえば、「anが哲学者であれば、anは学者である」という一次規則を考えてみましょう。この定式化は条件付きステートメントの例であり、「aは哲学者である」という仮説と、「aは学者である」という結論があります。この方程式の妥当性は、aで表されるものの性質だけでなく、「哲学者である」および「学者である」という述語の意味をどのように理解するかにも左右されます。

数式では、量指定子を変数と組み合わせて使用できます。上記の式における変数anの値は、例えば、「任意のaについて、anが哲学者であれば、anは学者である」という一階句を用いてグローバルに定量化することができる。このステートメントで「すべての」という普遍的な量指定子を使用すると、「anが哲学者である場合、anは学者である」という主張が、文字aのすべての可能な組み合わせに当てはまるという概念が伝わります。

「任意のaについて、anが哲学者である場合、anは学者である」というフレーズの論理的に同等の反対は、「anが哲学者であり、anが学者ではないようなものが存在する」というステートメントです。「aは哲学者であり、anは学者ではない」という声明が「a」の選択に当てはまるという概念は、「存在する」という実存的量化子が私たちに伝えようとしていることです。

「哲学者である」と「学者である」はどちらも、単一の変数を引数として受け入れる述語の例です。ほとんどの場合、述語はいくつかの変数を受け入れることができます。「ソクラテスはプラトンの教師である」という一次句の述語「の教師である」には、それが参照している2つの変数があります。

モデルとも呼ばれる 1 次式の解釈は、各述語の意味を明確にし、変数をインスタンス化できるエンティティを識別します。しばしば宇宙として知られている談話の領域は、通常、空ではないセットであることが期待されます。これらのものが宇宙を構成しています。たとえば、言説の領域がすべての人間で構成され、「哲学者である」という述語が「共和国の作者であった」と理解される解釈では、プラトンがそれを目撃した人であったため、「そのような人が哲学者であるような人が存在する」という文は真実と見なされます。

一次論理には、2つの基本コンポーネントがあります。一階論理では、整形式式は構文に従って有限の記号列であると決定され、これらの式の意味は言語の意味論に従って決定されます。

一階論理の言語は、英語などの自然言語とは対照的に、完全に形式的です。その結果、特定の文が正しく構成されているかどうかを機械化された方法で評価することができます。整形式の表現は、物事を直感的に説明する単語と、真または真ではない命題を直感的に伝える数式の2つの主要なカテゴリに分類できます。一階論理では、単語と式は記号の文字列で表され、言語のアルファベットは全体の記号自体によって形成されます。形式論理は、すべての形式言語の場合のように、記号自体の性質に適用することはできません。それでも、ほとんどの人はそれらを文字と句読点にすぎないと考えています。

アルファベットの文字を対応する論理記号に分離するのが通常の方法です, 彼らは通常、非論理記号に加えて、同じことを意味すると理解されています, その意味はそれがどのように解釈されるかに依存します.

たとえば、論理記号 \land は常に and を表します。論理記号で表される文脈で「または」を意味するために使用されることはありません \lor 。

ただし、Phil(x)などの非論理述語記号の1つの可能な解釈は、その時点で適用されている解釈に応じて、「xは哲学者である」、「人xはフィリップとして知られている」、またはその他の単項述語を意味することです。

論理記号は、作成者によって外観が異なる文字のコレクションですが、多くの場合、次のもので構成されます。

量指定子記号:普遍的定量化のための∀、および存在的定量化のための∃

論理接続詞:接続詞の∧、論理和の∨、含意の→、↔双条件、¬の否定。

一部の著者は、→の代わりに  C pqを使用し、 の代わりに ↔ Epq を使用します 、特に→が他の目的で使用されるコンテキストで。

さらに、馬蹄形⊃は→を置き換え、トリプルバー≡は¬を置き換え↔、チルダ(~)、Np、またはF  pは¬を置き換え、ダブルバー、、、または pqは \| ∨ + {\displaystyle \bigwedge pq} を置き換えることができ、アンパサンド、Kpq、または中央のドット⋅は ∧特に、技術的な制約のために特定のシンボルを使用できない場合。

(前述の記号Cpq、E pq、Np、Apq、およびKpqは、ポーランド語表記で使用される記号です。

括弧や角かっこを囲むなど、さまざまな句読点。このようなシンボルの選択は、周囲の環境に依存します。

考えられる結果の終わりのないリスト、アルファベットx、y、z、.の最後に来る小文字で表されることが多い記号。

.

下付き文字は、変数を区別するためによく使用されます:x0、x1、x2,...

等号(等号とも呼ばれる)、恒等記号)=(以下の§等式とその公理を参照)。

一次論理では、これらの各シンボルを使用する必要はありません。否定演算子、接続詞 (または選言)、変数、角かっこ、および等価に加えて、量指定子のいずれか 1 つを使用するだけで十分です。

論理シンボルの他の例を次に示します。

真理の不変量: T、V、または ⊤ は 真 を表し、F、O、または ⊥ は 偽 を表します (V と O