モーダルロジック: 基礎と応用

By Fouad Sabry

モーダル ロジックとは

必要性と可能性に関するステートメントは、モーダル ロジックとして知られるタイプのロジックを使用して表現できます。 知識、義務、因果関係などの概念を理解するための方法として、哲学やそれに密接に関連する他の科目の重要な要素です。 たとえば、この公式は、認識論的様相論理で知られているステートメントを記述するために使用できます。 同じ公式を使用して、義務的な様相論理の枠組み内で道徳的責任を表現することができます。 様相アサーションから引き出せる結論は、様相ロジックによって考慮されます。 たとえば、認識論理の大部分は、この公式をトートロジーであると考えています。これは、知識があるとみなされる唯一の主張は真であるという概念の表現です。

メリット

(I) 次のトピックに関する洞察と検証:

第 1 章: モーダル ロジック

第 2 章: 最初 -order 論理

第 3 章: 命題微積分

第 4 章: サウル・クリプキ

第 5 章: クリプキ意味論

第 6 章: 時間 ロジック

第 7 章: 認識モーダル ロジック

第 8 章: アクセシビリティ関係

第 9 章: S5 (モーダル ロジック)

第 10 章 : ダイナミック ロジック (モーダル ロジック)

(II) モーダル ロジックに関する一般のよくある質問に答える。

(III) 多くの分野でモーダル ロジックを使用する実際の例。

(IV) モーダル ロジックのテクノロジを 360 度完全に理解できるように、各業界の 266 の新興テクノロジを簡潔に説明する 17 の付録。

本書の対象者

専門家、学部生および大学院生、愛好家、趣味人、およびあらゆる種類の様相ロジックに関する基本的な知識や情報を超えたいと考えている人

 

• Language: 日本語
• Publisher: 10億人の知識があります [Japanese]
• Release date: Jun 30, 2023

Book preview

第 1 章: 様相論理

必要性と可能性に関するステートメントは、モーダルロジックと呼ばれる一種の推論を使用して表されます。

これは、知識、義務、因果関係などのアイデアを理解するためのツールとして、哲学および関連分野の重要な要素です。

たとえば、様相認識論的論理では、式を使用して既知の \Box P ステートメントを表すことができます P 。

デントロジカルモーダルロジック、その同じ式は P 道徳的義務であることを表すことができます。

モーダルステートメントが導く推論は、モーダルロジックによって考慮されます。

たとえば、ほとんどの認識論的論理は、公式を {\displaystyle \Box P\rightarrow P} トートロジーとして扱い、知識は真のステートメントからのみ導き出される可能性があるという考えを表しています。

様相論理は、可能性と要件の両方を示す や などの \Diamond 単項演算子を含む形式システムです \Box 。

たとえば、モーダル式は「おそらく」と読むことができます \Diamond P が P 、「必然的に」と読むことができます \Box P 。 P

様相論理の関係意味論、ノルム、数式には、仮想世界に基づいて真理値が与えられます。

他のアクセス可能なワールドにある他の数式の真理値は、ある可能なワールドでの数式の真理値に影響を与える可能性があります。

特に \Diamond P 、あるアク P セシブルな可能な世界で真である場合は世界で真であり、 はアクセス可能なすべての可能な世界で \Box P 真である場合、 P 世界で 真です。

アクセシビリティ関係を制限することによって得られるセマンティクスに関して有効で包括的な証明システムは数多くあります。

たとえば、様相論理の義務的アクセシビリティ関係を直列にする必要がある場合、Dは健全で完全です。

様相論理のアイデアは古代から存在していましたが、C. I. Lewisは1912年に最初の様相公理システムを作成しました。20世紀半ばのArthur Prior、Jaakko Hintikka、Saul Kripkeの研究は、現在標準的なリレーショナルセマンティクスを生み出しました。近傍意味論のような代替トポロジカル意味論や、哲学的ルーツを超えた関係意味論アプリケーションは、最近の進歩です。

モーダル ロジックは、 や などの \Box モーダル演算子を使用するという点で、他の種類のロジックとは異なります \Diamond 。

最初のものは通常「必然的に」と声に出して言われ、とりわけ道徳的または法的義務、知識、歴史的必然性などのアイデアを象徴するために使用できます。

後者は、許可などのアイデアを示すために使用でき、多くの場合、「おそらく」、能力、証拠との一貫性として読み取られます。

様相論理の整形式の式には、 などの非モーダル式が含まれますが、 、、 P\land Q 、などの {\displaystyle \Box (P\land Q)} 様相式も含まれます {\displaystyle P\land \Box Q} {\displaystyle \Box (\Diamond P\land \Diamond Q)} 。

したがって {\mathcal {L}} 、基本的な命題論理の言語は、次のように再帰的に定義できます。

が原子式 \phi であれば、 \phi は の式である {\mathcal {L}} 。

が の式 \phi であれば {\mathcal {L}} 、 \neg \phi も である。

\phi と \psi が の公式であれば {\mathcal {L}} 、 \phi \land \psi も である。

が の式 \phi であれば {\mathcal {L}} 、 \Diamond \phi も である。

が の式 \phi であれば {\mathcal {L}} 、 \Box \phi も である。

上記の #4 と #5 と同様のルールを実装することで、モーダル演算子をさまざまなタイプのロジックに拡張できます。

モーダル述語論理は、などの式を含む広く使用されているバリアントの1つです {\displaystyle \forall x\Diamond P(x)} 。

と \Box が双対 \Diamond である様相論理のシステムでは \Box \phi 、 の略語と見なすことができるので {\displaystyle \neg \Diamond \neg \phi } 、それを導入するための追加の構文規則の要件を排除します。

ただし、2 つの演算子が相互定義できないシステムでは、個別の構文規則が必要です。

一般的な表記の変形には、 {\displaystyle [K]} {\displaystyle \langle K\rangle } 知識を表すために使用される様相論理のシステムや [B] \langle B\rangle 、信念を表すために使用されるシステムなどの記号が含まれます。

これらの表記は、一度に複数のモーダル演算子を使用するシステムで特に一般的です。

たとえば、認識論的論理と義務論的論理の組み合わせでは、「 {\displaystyle [K]\langle D\rangle P} Pが許可されていることを知っている」と読む式を使用できます。

モーダル論理システムのインデックスで区別できるモーダル演算子は無数にあります。

{\displaystyle \Box _{1}} 、 {\displaystyle \Box _{2}} {\displaystyle \Box _{3}} などです。

リレーショナルセマンティクスは、モーダルロジックで認識されているセマンティクスです。この方法では、数式の信憑性は、可能な世界と呼ばれることが多いポイントに関連して評価されます。モーダル演算子の真理値は、他のアクセス可能な世界で何が真であるかに応じて変化する可能性があります。その結果、リレーショナルセマンティクスは、以下で説明するモデルを使用して、モーダルロジックの定式化を解釈します。

リレーショナル モデルは 、次のタプルです {\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle W,R,V\rangle } 。

W 可能な世界のセットです

R は 上の二項関係である。 W

V は、原子式と世界の各ペアに真理値を割り当てる評価関数です。

{\displaystyle V:W\times F\to \{0,1\}} ここで F 、は原子式の集合です)

セット W はしばしば宇宙と呼ばれます。

二項 R 関係はアクセシビリティ関係と呼ばれ、何が現実であるかを確立するために、どの世界がお互いを「見る」ことができるかを制御します。

たとえば、 {\displaystyle wRu} 世界は世界 u からアクセス可能です w 。

したがって、要約すると、として知られている状況 u は のライブの可能性です w 。

最後に、この機能は V 評価関数と呼ばれます。

それはどの世界が有効な原子式を持っているかを確立します。

次に、モデル内の w 世界での式の真理を再帰的に定義 \mathfrak{M} します。

{\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P} .iff {\displaystyle V(w,P)=1}

{\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \neg P} .iff w\not \models P

{\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models (P\wedge Q)} iff w\models P と w\models Q

{\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Box P} のすべての u 要素に対して iff W の場合 {\displaystyle wRu} u\models P

{\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Diamond P} のいくつかの要素に対してIFF u W は、それを保持し、 {\displaystyle wRu} u\models P

このセマンティクスに照らして、 からアクセス可能なすべての世界で成り立つ場合、世界に関して公式 w が必要です w 。

からアクセス可能な世界で成り立つ場合は可能です w 。

可能性はそれによって依存します アクセシビリティ関係 R それは私たちが相対的な可能性がどのようにあるかを表現することを可能にします。

たとえば、私たちの物理的なルールに基づいて、人間は光速より速く進むことはできませんが、さまざまな条件下では、それを達成できた可能性があると主張することができます。

この状況を翻訳するために、アクセシビリティ関係を次のように使用できます。 私たちが住んでいる世界を含むすべてのアクセス可能な世界、 一般に信じられていることとは反対に、人々は光速で動くことはできません。 しかし、これらの到達可能な惑星の1つには、それらの世界から到達可能な世界がありますが、私たち自身からは到達できません。 そして、人々が光速で動くことができる場所。

アクセシビリティ関係の選択だけで、数式が真か偽かを判断できる場合があります。

たとえば、アクセシビリティ関係が再帰的である \mathfrak{M} モデルを考えてみましょう。

関係の反射性により、 {\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P\rightarrow \Diamond P} どの評価関数が使用されているかに関係なく {\displaystyle w\in G} 、どの関係にもそれがあります。

このため、 時々、様相論理学者は、評価関数を含まないリレーショナルモデルの一部であるフレームについて議論します。

関係フレームはペアです {\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle G,R\rangle } ここで G 、 は可能な世界の集合であり、 は R 上の二項関係である G 。

フレーム条件を利用して、モーダルロジックのさまざまなシステムを定義します。フレームは次のように知られています。

w R wの場合、Gのすべてのwは再帰的です。

任意の w と G の u