現代ポートフォリオ理論: 現代のポートフォリオ理論、戦略的投資を通じて富を解放する

By Fouad Sabry

現代ポートフォリオ理論とは

現代ポートフォリオ理論 (MPT)、または平均分散分析は、期待収益が高くなるような資産のポートフォリオを組み立てるための数学的フレームワークです。 指定されたレベルのリスクに対して最大化されます。 これは、投資における多様化の形式化および拡張であり、さまざまな種類の金融資産を所有する方が、1 種類のみを所有するよりもリスクが低いという考えです。 その重要な洞察は、資産のリスクとリターンはそれ自体で評価されるべきではなく、それがポートフォリオ全体のリスクとリターンにどのように寄与するかによって評価されるべきであるということです。 収益の分散は、資産をポートフォリオに組み込むときに扱いやすいため、リスクの尺度として使用されます。 多くの場合、収益の過去の分散と共分散は、これらの数量の将来予測バージョンの代用として使用されますが、他のより洗練された方法も利用できます。

どのようなメリットがあるか>

(I) 以下のトピックに関する洞察と検証:

第 1 章: 現代ポートフォリオ理論

第 2 章: 標準偏差

第 3 章: 分散

第 4 章: 多変量正規分布

第 5 章: 相関

第 6 章: 資本資産価格モデル

第 7 章: 共分散行列

第 8 章: ピアソン相関係数

第 9 章: 不確実性の伝播

第 10 章: ベータ (金融)

第 11 章: トラッキング エラー

第 12 章: 多様化 (金融)

第 13 章: マートンのポートフォリオ問題

第 14 章: 単一インデックス モデル

第 15 章: ポストモダン ポートフォリオ理論

第 16 章: リスク尺度

第 17 章: Treynor?Black モデル

第 18 章: 目標ベースの投資

第 19 章: 2 瞬間意思決定モデル

第 20 章: 投資信託分離定理

第 21 章: 財務相関

(II) 現代のポートフォリオ理論に関する一般のよくある質問に答えます。

(III) 多くの分野で現代のポートフォリオ理論が使用されている実際の例。

誰 この本は、

専門家、学部生および大学院生、愛好家、愛好家、およびあらゆる種類の現代ポートフォリオ理論の基本的な知識や情報を超えたいと考えている人を対象としています。

 

 

• Language: 日本語
• Publisher: 10億人の知識があります [Japanese]
• Release date: Feb 17, 2024

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第1章 現代ポートフォリオ理論

現代ポートフォリオ理論(MPT)は、平均分散分析とも呼ばれ、一定量のリスクに対する期待リターンを最大化するために資産のポートフォリオを構築するための数学的枠組みです。それは、投資における多様性の形式化と拡大であり、複数の種類の金融資産を持つことは、1つだけを所有するよりも危険が少ないという考えです。その大前提は、資産のリスクとリターンは単独で評価されるべきではなく、ポートフォリオ全体のリスクとリターンへの貢献に照らして評価されるべきであるということです。資産価格の差異をリスクの代理として使用します。マーコウィッツモデルで、後にノーベル経済学賞を受賞しました。

現代ポートフォリオ理論(MPT)は、投資家がリスク回避的であることを意味しており、同じ期待リターンを持つ2つのポートフォリオが与えられた場合、投資家はリスクの少ないポートフォリオを選択することを意味します。したがって、投資家は、予測されるリターンが大きい場合にのみ、より大きなリスクを受け入れます。対照的に、より大きな予測リターンを望む投資家は、より大きなリスクを負う必要があります。すべての投資家が同じ正確なトレードオフを持つわけではありません。投資家は、独自のリスク回避特性に応じて、トレードオフを異なる方法で評価します。つまり、合理的な投資家は、より有利なリスク予想リターンプロファイルを持つ第2のポートフォリオが存在する場合、つまり、そのレベルのリスクに対して、より高い期待リターンを持つ代替ポートフォリオが存在する場合、ポートフォリオに投資しないということです。

このフレームワークでは、次のようになります。

ポートフォリオ・リターンは、ポートフォリオの構成資産のリターンの比例加重合計です。

ポートフォリオリターンのボラティリティ \sigma _{p}

は、資産 I, j の各ペアについて、構成資産の相関 ρij の関数です。

ボラティリティは、投資に関連するリスクに関する洞察を提供します。

ボラティリティが高いほど、危険性が高くなります。

原則として：

期待リターン:

\operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad

どこ R_{p}

はポートフォリオのリターン、 R_{i}

は資産 i の収益率 、 w_{i}

は、コンポーネント資産の加重です。 i

(つまり、ポートフォリオ内の資産Iの割合であるため、 {\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}

).

ポートフォリオのリターンのばらつき:

{\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}\sum _{j\neq i}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}

どこ {\displaystyle \sigma _{i}}

は資産iの定期収益の(サンプル)標準偏差、 \rho _{ij}

は、資産 i と j の収益率の相関係数です。

このステートメントは、次のように記述することもできます。

\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}

どこ \rho _{ij}=1

対して {\displaystyle i=j}

又は

{\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}}

どこ {\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}

は、2 つの資産の定期リターンの (サンプル) 共分散、または次のように表されます。 {\displaystyle \sigma (i,j)}

, {\displaystyle {\text{cov}}_{ij}}

又は {\displaystyle {\text{cov}}(i,j)}

.

投資リターンのボラティリティ(標準偏差):

\sigma _{p}={\sqrt {\sigma _{p}^{2}}}

2資産ポートフォリオについて:

ポートフォリオリターン:

\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).

ポートフォリオの差異:

\sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}

3資産ポートフォリオについて:

ポートフォリオリターン:

\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})

ポートフォリオの差異:

\sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}+2w_{A}w_{C}\sigma _{A}\sigma _{C}\rho _{AC}+2w_{B}w_{C}\sigma _{B}\sigma _{C}\rho _{BC}

投資家はポートフォリオのリスク(特に \sigma _{p}

)完全に正の相関関係にない商品の組み合わせを保持するだけで(相関係数 -1\leq \rho _{ij}<1

).

つまり、多様な資産ポートフォリオを維持することで、投資家は個々の資産リスクエクスポージャーを下げることができます。

分散投資により、リスクを軽減しながら、同じ予測されるポートフォリオのリターンが可能になる場合があります。

マーコウィッツは、最適な投資ポートフォリオを構築するための平均分散フレームワークを最初に提案し、その後、フレームワークの制約を考慮したさまざまな経済学者や数学者によって強化および改善されてきました。

すべての資産ペアの相関関係がゼロで、完全に無相関であり、ポートフォリオのリターン分散が、資産に保有されている端数の平方に資産のリターン分散を掛けたすべての資産の合計である場合、これはポートフォリオのリターン分散です(ポートフォリオ標準偏差はこの合計の平方根です)。

すべての資産ペアの相関関係が1の場合(完全に正の相関がある場合)、ポートフォリオリターンの標準偏差は、資産リターンの標準偏差の合計に、ポートフォリオに保有されている端数で加重した値になります。

指定されたポートフォリオの重みと資産リターンの標準偏差について、すべての相関が1の場合、ポートフォリオのリターン標準偏差は考えられる最大値です。

効率的なフロンティア。

時折、双曲線は「マーコウィッツ弾丸」と呼ばれ、リスクのない特性にアクセスできない場合、これは効率のフロンティアです。

リスクのない物件で、直線は効率のフロンティアです。

MPTは平均分散理論であり、ポートフォリオの期待(平均)リターンをポートフォリオの標準偏差と比較します。グラフは、縦軸に期待リターン、横軸に標準偏差(ボラティリティ)を示しています。標準偏差はボラティリティを表し、リスクの尺度として機能します。リスクのない資産がない場合、効率的なフロンティアは双曲線境界線の上部(「マーコウィッツ弾」と呼ばれることもあります)です。この上端に沿った組み合わせは、一定額の期待リターン(リスクのない資産の保有は含まない)に対してリスクが最も低いポートフォリオを表しています。同様に、効率的なフロンティアに位置するポートフォリオは、特定のリスク量に対して最も高い予測リターンを持つ組み合わせを表します。資本配賦線は、双曲線境界 (CAL) の上限に接する線です。

行列は、効率的なフロンティア計算に適しています。

マトリクス方式では、与えられた「リスク許容度」 q\in [0,\infty )

、効率的な境界線は、以下の式を最小化することによって決定されます。

{\displaystyle w^{T}\Sigma w-q\times R^{T}w}

どこ

w

はポートフォリオの重みのベクトル、 \sum _{i}w_{i}=1.

(重みは負にすることができます)。 \Sigma

は、ポートフォリオ内の資産のリターンの共分散行列です。 q\geq 0

は「リスク許容度」係数であり、0 はリスクが最小のポートフォリオになり、 \infty

その結果、ポートフォリオはフロンティアから無限に外れ、期待リターンとリスクの両方が無限に広がります。そして

R

は期待リターンのベクトルです。

w^{T}\Sigma w

はポートフォリオリターンの分散です。

R^{T}w

はポートフォリオの期待リターンです。

上記の最適化は、ポートフォリオのリターン分散が標準偏差ではなく水平方向に示されている場合に、フロンティアの傾きの逆数がqに等しくなるフロンティア上のポイントを決定します。完全なフロンティアは q 上でパラメトリックである。

ハリー・マーコウィッツは、クリティカル・ライン・アルゴリズムとして知られる前述の問題を解決するための方法を、他のいくつかの言語で考案しました。

また、MATLAB、Microsoft Excel、Mathematica、Rなどの多くのソフトウェア製品には一般的な最適化手法が含まれているため、特定の制限(数値精度の低さ、共分散行列の正確定性の要件など)はあるものの、前述の問題を解決するためにそれらを使用できます。

効率的なフロンティアを指定する別のアプローチは、期待されるポートフォリオリターンをパラメトリックに指定することです R^{T}w.

このバージョンの問題では、

w^{T}\Sigma w

対象

R^{T}w=\mu

for パラメーター \mu

.

ラグランジュ乗数を使用してこの問題を解くと、次の線形連立方程式が得られます。

{\displaystyle {\begin{bmatrix}2\Sigma &-R&-{\bf {1}}\\R^{T}&0&0\\{\bf {1}}^{T}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}}

2つの投資信託の定理は、上記の分析の重要な結果です。この定理は、効率的なフロンティア上のポートフォリオは、フロンティア上の任意の2つの特定のポートフォリオの組み合わせを所有することによって形成される可能性があると述べています。これらは、定理の名前で言及されている「投資信託」です。リスクのない資産がない場合、投資家は、効率的な投資信託が2つしか利用できない場合でも、希望する効率的なポートフォリオを構築できます。フロンティアで意図したポートフォリオの場所が2つのミューチュアルファンドの場所の間にある場合、両方のミューチュアルファンドの正の量が保持されます。意図したポートフォリオが2つの投資信託でカバーされる範囲外にある場合、投資信託の1つは空売り(マイナスの数量に保たれる)し、他の投資信託への投資は投資可能な金額(超過分は他のファンドからの借入によって賄われている)を超える必要があります。

リスクフリー資産とは、リスクフリーレートをもたらす資産です。実際には、短期国債(米国財務省短期証券など)は、固定金利で債務不履行の可能性がほとんどないため、リスクのない資産として活用されています。リスクのない資産は、リターンの分散がゼロ(したがってリスクがない)であり、他の資産との相関関係がありません(定義上、分散がゼロであるため)。したがって、他の資産または資産ポートフォリオと組み合わせた場合、組み合わせの割合が変動するため、リターンの変化はリスクの変化に比例します。

リスクのない資産が導入されると、図の破線は効率性の新たなフロンティアを表します。これは、純粋なリスクで構成されるシャープレシオが最も高いポートフォリオの双曲線に接しています。その垂直インターセプトは、リスクのない資産の保有の100%を持つポートフォリオを表します。双曲線のタンジェンシーは、リスクのない保有がなく、ポートフォリオに保有されている資産の100%がタンジェンシーポイントで発生しているポートフォリオを表します。これらのポイント間のポイントは、リスクのあるタンジェンシーポートフォリオとリスクフリー資産の両方がプラスの金額を持つポートフォリオを表します。そして、接点を超えたハーフライン上のポイントは、リスクの高いタンジェンシーポートフォリオとこのハーフラインの両方の負の量を持つポートフォリオを表し、資本配分ライン(CAL)と呼ばれ、その式は次のように実証され得る。

E(R_{C})=R_{F}+\sigma _{C}{\frac {E(R_{P})-R_{F}}{\sigma _{P}}}.

この式では、Pはマーコウィッツ弾のタンジェンシーにおける危険資産のサブポートフォリオ、Fはリスクフリー資産、CはPとFの組み合わせです。

実現可能なポートフォリオ・コンポーネントとしてリスク・フリー資産を導入したことで、タンジェンシー・ポートフォリオを除くすべてのリスク・レベルで、ハーフラインが双曲線よりも大きな期待リターンを提供するため、利用可能なリスクと予想リターンの組み合わせの範囲が拡大しました。線形効率的な軌跡上のすべての場所は、リスクフリー資産とタンジェンシーポートフォリオの組み合わせを保持することによって到達できるという概念は、1つのミューチュアルファンド定理として知られており、ミューチュアルファンドはタンジェンシーポートフォリオと呼ばれます。

上記の分析は、1人の投資家の最適な行動を示しています。資産価格理論は、この研究に基づいて、以下のように構築されています。タンジェンシー・ポートフォリオで指定されているように、誰もがリスク資産を同じ割合で保有しているため、リスク資産価格と予測リターンは、タンジェンシー・ポートフォリオの比率がリスク資産が市場に提供される比率と一致するように、市場均衡下で調整されます。したがって、相対的な需要と供給は等しくなります。これに関連して、MPTは、正しく評価された資産に必要な期待リターンを決定します。

特定リスクとは、個々の資産に関連するリスクです。分散投資は、ポートフォリオ内のこれらのリスクを下げるのに役立ちます(特定のリスクは「相殺」されます)。特定リスクは、分散リスク、特異リスク、非定型リスク、特異リスクとも呼ばれます。システマティックリスク(ポートフォリオリスクまたは市場リスクとも呼ばれます)は、すべての証券に共通するリスクです。後述する空売りを除き、システマティック・リスクは(1つの市場内での)分散によって排除することはできません。市場ポートフォリオ内では、資産固有のリスクは、分散投資によって可能な限り軽減されます。したがって、システミックリスクは、市場ポートフォリオのリスク(標準偏差)に相当します。

有価証券は、市場ポートフォリオのリスク期待リターン特性を高める場合にのみ取得されるため、有価証券のリスクの主要な尺度は、有価証券のリスク単独ではなく、市場ポートフォリオに追加するリスクです。この点で、資産のボラティリティと市場ポートフォリオとの相関関係は歴史的に観察されているため、供給されています。(資産価格には、資産のリターンの瞬間の確率的特徴をモデル化することによって資産の価格を決定しようとする他の手法があり、これらは総称して条件付き資産価格モデルとして知られています。

市場内のシステマティックリスクは、ロングポジションとショートポジションの両方を含むポートフォリオアプローチで対処でき、「マーケットニュートラル」なポートフォリオを形成します。したがって、マーケット・ニュートラルなポートフォリオは、広範な市場指数と相関しません。

資産のリターンは、現在の購入価格に左右されます。価格は、資産が導入されたときに市場ポートフォリオのリスク/リターン特性が増加することを保証する必要があります。CAPMは、投資家が利用できるリスクフリーレートと市場全体のリスクを考慮して、市場における資産の理論的に必要な期待リターン(つまり、割引率)を計算するモデルです。CAPMはよく言われます。

\operatorname {E} (R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})

βベータは、市場全体の変化に対する資産の感応度を示す指標です。ベータは、多くの場合、履歴データの回帰を使用して決定されます。

ベータが1より大きい場合は、ポートフォリオリスクに対する資産の寄与度に関して平均以上の「リスク」を示します。1を下回ると、ベータは平均以下のリスク寄与度を示唆します。

(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})

は市場プレミアムであり、リスクフリーレートに対する市場ポートフォリオの予想超過リターンです。

導出を以下に示します。

(1)市場ポートフォリオにリスク資産a(a)を追加した場合のリスクと期待リターンへの影響は、2資産ポートフォリオの計算式を使用して計算できます。これらの結果は、資産に適した割引率を計算するために利用されます。

更新された市場ポートフォリオのリスク =

(w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])

したがって、ポートフォリオに追加されたリスク=

[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]

ただし、アセットの質量は比較的軽いため、これは問題になりません。 w_{a}^{2}\approx 0

すなわち、

追加リスク = [2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]\quad

市場ポートフォリオの期待リターン =

(w_{m}\operatorname {E} (R_{m})+[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})])

したがって、追加の期待リターン= [w_{a}\operatorname {E} (R_{a})]

(2)不動産 aが妥当な価格である場合、市場ポートフォリオmに含まれることによるリスク対期待収益率の増加は、少なくともより大きな市場ポートフォリオに同じ金額を投資した場合のリターンに等しくなります。

投資家がリスクフリーレートで借りた現金を使用してアイテムを取得することを前提としています。 R_{f}

;これは、次の場合に合理的です。 \operatorname {E} (R_{a})>R_{f}

.

こうして：

[w_{a}(\operatorname {E} (R_{a})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]=[w_{a}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\sigma _{m}\sigma _{m}]

すなわち、

:

[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]

すなわち、

:

[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}][\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad

は「ベータ」、 \beta

リターン - 資産のリターンと市場のリターンの共分散を市場リターンの分散で割ったもの。

市場ポートフォリオの価値の動きに対する資産価格の感応度(ベータ(金融)§市場ポートフォリオへの資産の追加も参照)。

次の回帰式を使用して、この式を統計的に推定できます。

\mathrm {SCL} :R_{i,t}-R_{f}=\alpha _{i}+\beta _{i}\,(R_{M,t}-R_{f})+\epsilon _{i,t}{\frac {}{}}

ここで、α  i は資産のアルファと呼ばれ、β i は資産のベータ係数、SCL はセキュリティ特性線です。

資産の予測リターンが実現すると、 E(R_{i})

はCAPMを利用して計算され、このレートを使用して、資産の将来のキャッシュフローを現在価値に割り引いて、正しい価格を決定することができます。

リスクの高い株式はベータが高くなり、割引率が高くなります。ボラティリティの低い株式は、ベータが低くなり、割引率が低くなります。

理論的には、資産の観測価格がCAPMから派生した割引率を使用して推定された値と等しい場合、資産の価格は正しく設定されます。

観察された価格が評価額を超える場合、その資産は過大評価されます。過度に安い価格で割安です。

MPTの批評家は、その理論的重要性にもかかわらず、その金融市場のモデルが多くの点で現実世界に対応していないため、それが適切な投資手段であるかどうかを論じています。

基本的に、MPTは損失の確率の観点からリスクを説明しようとしますが、そのような損失が発生する理由については説明を提供していないため、投資家は過去のデータに基づいて重要な市場パラメータを推定することを余儀なくされています。利用されるリスク指標は、構造的なものではなく、確率的なものです。これは、リスク管理に対する大多数のエンジニアリング手法からの大幅な逸脱です。

オプション理論とMPTと、原子力発電所が実施する確率論的リスク評価との間には、少なくとも1つの重要な概念的違いが存在する。経済学者はPRAを構造モデルと呼んでいます。モンテカルロシミュレーションでは、システムのコンポーネントとその接続がモデル化されます。バルブXが破損すると、ポンプYの背圧が失われ、容器Zへの流れが減少します。

しかし、ブラック・ショールズ方程式も現代ポートフォリオ理論(MPT)も、価格変動の基本的な構造を説明しようとはしていません。確率は、さまざまな結果に単純に割り当てられます。また、PRAとは異なり、流動性危機などの特定のシステムレベルの事象の確率を計算する方法は、その履歴がない場合にはありません。原子力技術者がこのような方法でリスク管理を行うと、同じタイプの原子炉で同じ事故が多数発生するまで、特定のプラントでメルトダウンの確率を計算することはできません。

- ダグラス・W.

ハバード、リスク管理の失敗、p. 15

67、ジョン・ワイリー&サンズ、2009年。

ISBNコード978-0-470-38795-5

同様に、数学的リスク測定は、投資家の実際の懸念を反映している範囲でのみ有効です。誰も気にしない変数を最小化しても価値はありません。具体的には、分散は対称的な統計量であり、過度に高いリターンは異常に低いリターンと同様に危険であると見なします。損失回避の心理的現象は、投資家が勝ちよりも損失を心配するという概念であり、私たちの直感的なリスク感覚が本質的に非対称であることを示しています。他の多くのリスク指標(首尾一貫したリスク指標など)は、投資家の選好をより正確に反映している可能性があります。

現代のポートフォリオ理論は、リターンのガウス分布の仮定についても攻撃されています。ブノワ・マンデルブロとユージン・ファーマは、1960年代にこの仮定が不十分であることを実証し、代わりにより一般的な安定分布の使用を推奨しました。このような状況で、ステファン・ミットニックとスヴェトロザル・ラチェフは、最適なポートフォリオを導き出す方法を提供しました。ナシーム・ニコラス・タレブは最近、同じ理由で現在のポートフォリオ理論を攻撃しています。

1987年の株式市場危機の後、彼らはガウスの枠組みでプラトンモデルを構築することにより、現代ポートフォリオ理論として知られるものに貢献した2人の理論家、ハリー・マーコウィッツとウィリアム・シャープを称えました。簡単に言えば、ガウスの仮定を取り除き、価格をスケーラブルとして扱うと、熱気だけが残ります。ノーベル委員会は、シャープとマーコウィッツのモデルがインターネットで販売されているいんちき治療薬のように機能するため、それらを検討したのかもしれないが、ストックホルムの誰もそれを考慮しなかったようだ。

- ナシム・N.

Taleb, The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable, p. 15 (タレブ、ブラック・スワン:非常にあり得ない影響)

277、ランダムハウス、2007年。

ISBNコード978-1-4000-6351-2

通常、逆張り投資家やバリュー投資家は、現代ポートフォリオ理論には賛同しません。

1952年にMPTがデビューして以来、特により現実的な仮定を採用することで、モデルを改善するための多くの試みが行われてきました。

ポストモダンのポートフォリオ理論は、非正規分布、非対称、およびファットテールのリスク指標を組み込むことにより、MPTを拡張します。これは、これらの問題の一部を解決するのに役立ちますが、他の問題は解決しません。

Black–Littermanモデル最適化は、制約のないMarkowitz最適化の拡張であり、Black–Scholesモデルからのリスクとリターンの入力に関する相対的および絶対的な「ビュー」を統合します。

現代のポートフォリオ理論は、合理的選択理論の主要な公理、特に単調性公理と矛盾しており、ポートフォリオXに投資することがポートフォリオYへの投資よりも高いリターンをもたらす場合、合理的な投資家はポートフォリオYよりもポートフォリオXを優先すべきであると述べています。 は、分散回避として知られる別の公理に基づいており、分散が低いため、Yへの投資を奨励する可能性があります。Maccheroniらの合理的選択理論は、分散を適切な偏差リスク尺度に置き換えた結果です。

1970年代には、MPTの概念は地域科学の分野に移行しました。マイケル・コンロイは、一連の重要な出版物で、労働力の成長と変動性を研究するために、ポートフォリオ理論的アプローチを使用して経済における労働力を研究しました。これに続いて、景気拡大とボラティリティの関係に関する広範な研究が行われました。

金融商品に加えて、一部の専門家はプロジェクトやその他の資産のポートフォリオにMPTを採用しています。MPTを標準的な金融ポートフォリオ以外で採用する場合、さまざまなポートフォリオタイプ間のいくつかの区別を考慮する必要があります。

金融ポートフォリオ資産は実質的に継続的に分割可能ですが、プロジェクトポートフォリオ資産は塊状です。例えば、3銘柄の理想的なポートフォリオポジションは、例えば44%、35%、21%と計算できますが、プロジェクトポートフォリオの最適なポートフォリオポジションでは、プロジェクトへの投資額を単純に変更することはできません。プロジェクトは、すべてまたはゼロにすることも、分離できない論理単位を持つこともできます。ポートフォリオ最適化手法では、プロジェクトの不連続性を考慮する必要があります。

金融ポートフォリオ資産は流動的です。これらはいつでも評価または再評価できます。ただし、新しいプロジェクトを開始する機会は限られており、短期間で訪れる場合があります。すでに開始されたプロジェクトは、サンクコストを発生させずに放棄することはできません(つまり、部分的に完了したプロジェクトには、回収/救済価値がほとんどまたはまったくありません)。

いずれも、MPTや類似のポートフォリオの利用を必ずしも排除するものではありません。これらは、通常、金融ポートフォリオには適用されない数学的に指定された追加の制限セットを使用して最適化を実行する要件を意味するだけです。

さらに、現代ポートフォリオ理論の最も基本的な要素のいくつかは、ほぼすべてのタイプのポートフォリオに適用できます。特定のリターンに対するリスクの許容レベルを文書化することにより、投資家のリスク許容度を記録するという概念は、さまざまな意思決定分析状況に使用できます。MPTはリスク指標として過去の差異を使用しますが、重要なプロジェクトなどの資産のポートフォリオには、明確に定義された「過去の差異」がありません。このような状況では、MPTの投資障壁は、「投資収益率が資本コストを下回る可能性」や「投資の半分以上を失う可能性」など、より一般的な言葉で定義できます。リスクを推定値と潜在的な損失に関する不確実性として定義する場合、この考え方は多くの種類の投資に適用できます。

{チャプター1終了}

第2章:標準偏差

標準偏差は、値のグループの分散または分散の統計的尺度です。標準偏差が低い場合は、値がコレクションの平均 (期待値とも呼ばれます) の周りに集まる傾向があることを意味し、標準偏差が高い場合は、値がより広い範囲に分散していることを示します。

各バンドの幅が 1 標準偏差の正規分布 (または釣鐘型曲線) のプロット – 68–95–99.7 ルールも参照してください。

期待値0、標準偏差1の正規分布の累積確率

SDは標準偏差の略語であり、数学のテキストや方程式では、母集団の標準偏差を表す小文字のギリシャ文字σ(sigma)、またはサンプル標準偏差に関連するラテン語の文字Sで最も一般的に表されます。

分散の平方根は、確率変数、サンプル、統計母集団、データ収集、または確率分布の標準偏差です。代数的には簡単ですが、実際には平均絶対偏差よりもロバスト性が低くなります。分散とは異なり、標準偏差はデータと同じ単位で表されるため、有益な属性です。

母集団または標本の標準偏差と統計量の標準誤差(標本平均標準誤差など)は、完全に別個のものですが、関連しています。標本平均の標準誤差は、母集団から無制限の数の反復標本を取り、各標本の平均を計算することによって得られた一連の平均の標準偏差です。平均の標準誤差を推定するには、標本標準偏差を標本サイズの平方根で割った値が必要です。平均の標準誤差は、母標準偏差をサンプルサイズの平方根で割った値に等しくなります。たとえば、世論調査の標準誤差 (誤差幅とも呼ばれます) は、同じ世論調査が複数回実施された場合に予測された平均の予想される標準偏差です。したがって、標準誤差は推定値の標準偏差を推定し、推定値が母集団から選択したサンプルにどの程度依存しているかを示します。

科学では、データの標準偏差(要約統計量として)と推定値の標準誤差(結果の潜在的な誤差の尺度として)の両方を提供するのが一般的です。慣例により、帰無仮説から2つ以上の標準誤差で逸脱する効果のみが、ランダムサンプリング誤差による誤った結論に対する予防措置として「統計的に有意」と見なされます。

母集団からのデータのサンプルのみが利用可能な場合、サンプルの標準偏差またはサンプル標準偏差という用語は、それらのデータに適用される上記の量、または母標準偏差(母集団全体の標準偏差)の不偏近似である修正数量を指すことができます。

対象の母集団が特定のクラスの 8 人の学生で構成されているとします。有限の整数セットの場合、母集団の標準偏差は、値の偏差の二乗の平均の平方根を取り、それらの平均を差し引くことによって計算されます。8人の生徒のクラス(統計母集団)の成績は、以下の8つの値です。

{\displaystyle 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.}

この 8 つのデータ項目のグループの平均は 5 です。

{\displaystyle \mu ={\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}={\frac {40}{8}}=5.}

最初に平均からの各データポイントの偏差を計算し、次に各結果を二乗します。

{\displaystyle {\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16.\\\end{array}}}

これらの値の平均が分散です。

{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}={\frac {32}{8}}=4.}

母標準偏差は分散の平方根です。

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {4}}=2.}

この式は、最初の 8 つの値が母集団全体を表す場合にのみ有効です。

代わりに、値が巨大な親母集団から選択されたランダムなサンプルであった場合(たとえば)、次のようになります。 8人の生徒が200万人のクラスから無作為かつ独立して選択され、最終的な式では、分母の8(n)ではなく7(n 1)で除算し、結果は次のようになります。 {\textstyle s={\sqrt {32/7}}\approx 2.1.}

その場合、元の式の結果は 標本 標準偏差と呼ばれ、代わりにsで表されます 。 \sigma .

n ではなく n − 1 で除算すると、より大きな親母集団の分散の不偏推定値が得られます。

これをベッセル補正と呼ぶ。

大まかに言うと、この理由は、標本分散の計算が観測値と標本平均の差の計算に依存しているため、標本平均は観測値にできるだけ近いように作成されているため、単純にnで割ると分散が過小評価されます。

対象母集団が基本的に規則的に分布している場合、標準偏差は、特定の値を上回っているか下回っているかを示す観測値の比率を明らかにします。米国では、成人男性の平均身長は約70インチで、標準偏差は約3インチです。これは、男性の大多数(正規分布を仮定すると約68%)の身長が平均(67〜73インチ)から3インチ以内(1標準偏差)以内であり、ほぼすべての男性(約95%)の身長が平均(64〜76インチ)から6インチ以内(2標準偏差)であることを示しています。標準偏差がゼロの場合、すべての男性の身長は正確に70インチになります。標準偏差が20インチの場合、男性の身長は有意に変動し、平均範囲は50〜90インチになります。正規分布または釣鐘型分布を仮定すると、3つの標準偏差が分析対象の母集団サンプルの99.73%を占めます(詳細については、68-95-99.7の法則または経験則を参照してください)。

μ密度f(x)を持つ確率変数Xの期待値(平均)と します。

{\displaystyle \mu \equiv \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x}

X の標準偏差σは、次のように定義されます。

{\displaystyle \sigma \equiv {\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}}={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,\mathrm {d} x}},}

これは、等しいことを示すことができます {\textstyle {\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}}}.}

標準偏差は X の分散の平方根に等しくなります。

確率分布の標準偏差は、その分布を持つ確率変数の標準偏差と同じです。

標準偏差は、すべての確率変数に存在するわけではありません。

分布に無限大に伸びる太い裾が含まれている場合、分布は歪んでおり、積分が収束しない可能性があるため、標準偏差が存在しない可能性があります。

正規分布の裾は無限大を超えて伸びていますが、裾はすぐに縮小するため、その平均と標準偏差は実数です。

パラメータによるパレート分布 {\displaystyle \alpha \in (1,2]}

平均はあるが、(一般的な意味での)標準偏差ではなく、無限標準偏差を持つ。

コーシー分布には、平均と標準偏差がありません。

X  が有限データセット x1, x2, .., xN からランダム値を取る場合、各値は同じ確率を持ち、標準偏差は

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left[(x_{1}-\mu )^{2}+(x_{2}-\mu )^{2}+\cdots +(x_{N}-\mu )^{2}\right]}},{\text{ where }}\mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N}),}

または要約表記を採用することにより、

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}},{\text{ where }}\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.}

同じ確率の結果を持つ代わりに、値にさまざまな確率がある場合、x1 に確率 p1、x2 に確率 p2、..、xN に確率 pN があるとします。

この場合、標準偏差は

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}},{\text{ where }}\mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.}

連続実数値と確率密度関数 p(x) を持つ確率変数 X の標準偏差は、

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int _{\mathbf {X} }(x-\mu )^{2}\,p(x)\,\mathrm {d} x}},{\text{ where }}\mu =\int _{\mathbf {X} }x\,p(x)\,\mathrm {d} x,}

ここで、積分は、確率変数Xの可能な値のセットに対してxに対して取られた定積分です。

分布のパラメトリックファミリーに関しては、パラメータに関しては、標準偏差を表すことができます。

たとえば、パラメータが μ と σ2 の対数正規分布の場合、標準偏差は

{\displaystyle {\sqrt {\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}}.}

母集団のすべてのメンバーがサンプリングされる状況(標準化されたテストなど)では、母集団の標準偏差を決定できます。

それが達成できない場合には 、母集団から採取した無作為標本を調べ、その標本の統計量を計算することによって、標準偏差σを推定し、母集団の標準偏差を評価するために使用される。

このタイプの統計量は推定量として知られており、推定量(または推定量の値、推定値)は標本標準偏差として知られており、s(おそらく修飾子付き)で表される。

標本平均が多くの望ましい特性(不偏、効率的、最尤)を持つ単純な推定量である母平均の推定とは対照的に、これらすべての特性を持つ標準偏差の単一の推定量は存在せず、標準偏差の不偏推定は非常に複雑な技術的問題です。通常、標準偏差は、以下に示すように、補正された標本標準偏差(N 1を使用)を使用して推定されます。これは、修飾子なしの「標本標準偏差」と呼ばれることがよくあります。それにもかかわらず、代替推定量はさまざまな点で優れています:未補正推定量(Nを使用)は平均二乗誤差を小さくしますが、N 1.5(正規分布を使用)を使用するとバイアスがほぼ完全に減少します。

サンプルは、(有限母集団の)母標準偏差の式を使用して計算し、サンプルサイズを利用して母集団を推定できます(ただし、サンプルが抽出される実際の母集団サイズははるかに大きい場合があります)。

この推定量は、sNで表され、未補正の標本標準偏差は、標本標準偏差(母集団全体と見なされる)として知られており、以下に説明する。

{\displaystyle s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},}

どこ {\displaystyle \{x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{N}\}}

は標本項目の観測値、 {\bar {x}}

はこれらの観測値の平均値であり、分母Nはサンプルサイズを表します。