رياضيات الأولمبياد - مرحلة الإعداد - الجبر

By معروف عبدالرحمن سمحان

تهدف هذه السلسلة إلى توفير مادة علمية ثرية لمساعدة المدارس والمعلمين والطلاب والمهتمين بإعداد الطلاب الموهوبين المتفوقين والذين لديهم شغف بالرياضيات على المشاركة في مجال مسابقات الرياضيات الدولية. تحتوى هذه الكتب على محتوى علمي وشروح وأمثلة تتخطى فروع الرياضيات لترسم للطلاب الواعدين طريقًا نحو التميز. وتقدم مصدرًا ثريًّا ومعينًا للمعلمين على تدريب الطلاب على التفكير الرياضي. إلى جميع المدارس والمعلمين الذين يرغبون في إعداد طلابهم للمنافسة في أولمبيادات الرياضيات الدولية، سوف تعطيكم هذه السلسلة أول الخيط ليكون طلبتكم أحد أعضاء فريق مؤهل للمنافسة في مسابقات الرياضيات الدولية. وترمي موهبة من خلال هذه الإصدارات المتخصصة في الرياضيات إلى توفير مادة تدريبية باللغة العربية للمدارس والمعلمين والطلاب، وهي مادة مناسبة لمستويات مختلفة من الطلاب. العبيكان للنشر

• Language: العربية
• Publisher: Obeikan
• Release date: Jun 1, 2024
• ISBN: 9786035038027

معروف عبدالرحمن سمحان

أروى بنت محمد الأمين الشنقيطي

Book preview

الأعداد

Numbers

(1.1) الأعداد الطبيعية [Natural Numbers]

تبدأ دراسة الأعداد بالأعداد الطبيعية (Natural numbers) وهي مجموعة جميع أعداد العد:

وهذه المجموعة لا تنتهي. أي لا يوجد عدد طبيعي هو أكبر من جميع الأعداد الطبيعية، وفي مثل هذه الحالات نقول إن المجموعة غير منتهية.

قواسم العدد الطبيعي هي جميع الأعداد الطبيعية التي يقبل العدد القسمة عليها دون باق. على سبيل المثال، قواسم العدد  هي

في كثير من الأحيان يكون للعدد الطبيعي العديد من القواسم. عند كتابة العدد كحاصل ضرب قواسم نقول إننا حللنا العدد. فمثلاً، كل مما يلي هو تحليل للعدد :

.

أحياناً نكتب  عوضاً عن  وتسمى هذه الطريقة في الكتابة طريقة كتابة عدد كقوة لعدد آخر. فعند كتابة

نقول إن العدد  (الأساس) مرفوع للقوة . وبصورة عامة، إذا كان  عدد طبيعياً فإن  يعني ضرب العدد  في نفسه  من المرات.أي أن

العدد الطبيعي  الذي له قاسمان بالضبط فقط هما  و  يسمى عدداً أولياً

(Prime number). والعدد الطبيعي الذي له أكثر من قاسمين يسمى عدداً مؤلفاً (Composite number). بعض الأعداد الأولية هي

من المعلوم أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية وأصغرها هو العدد  (لاحظ أن العدد  ليس أولياً).

(1.2) بعض اختبارات القسمة [Some Divisibility Tests]

نقول إن العدد  يقسم العدد  (أو العدد  يقبل القسمة على العدد ) إذا استطعنا قسمة  على  دون باق. فمثلاً، العدد  يقسم العدد  لأن . وأما العدد  فلايقسم العدد  لأن  ليس عدداً طبيعياً. أحياناً يكون من المناسب معرفة ما إذا كان عدد يقسم عدداً آخر:

(1)        يقبل العدد  القسمة على العدد  إذا كانت مرتبة الآحاد للعدد  عدداً زوجياً (لاحظ أن  يعتبر عدداً زوجياً).

(2)        يقبل العدد  القسمة على العدد  إذا قبل العدد المكون من مرتبتي آحاد وعشرات العدد  القسمة على العدد .

(3)        يقبل العدد القسمة على العدد  إذا قبل العدد المكون من مجموع مراتب العدد  القسمة على العدد .

(4)        يقبل العدد  القسمة على العدد  إذا كانت مرتبة آحاد  هي  أو .

(5)        يقبل العدد  القسمة على العدد  إذا كان  زوجياً ويقبل القسمة على العدد .

فمثلاً، العدد  يقبل القسمة على  لأنه زوجي ويقبل القسمة على العدد  لأن مجموع مراتبه  يقبل القسمة على العدد  ويقبل القسمة على  لأنه زوجي ويقبل القسمة على . ولكنه لا يقبل القسمة على العدد  لأن  لا يقبل القسمة على العدد . كما أنه لا يقبل القسمة على العدد  لأن مرتبة آحاده لا تساوي  ولا .

إحدى الحقائق المهمة التي يجب معرفتها عن الأعداد الطبيعية هو امكانية كتابة أي عدد مؤلف كحاصل ضرب عدد منته من الأعداد الأولية (وهذه الطريقة وحيدة باستثناء ترتيب العوامل الأولية). فمثلاً

.

إحدى الطرق لتحليل العدد إلى عوامل أولية (كتابته كحاصل ضرب أعداد أولية) هي تجريب قسمة العدد على أعداد أولية متتالية إلى أن نحصل على عدد أولي. فمثلاً، لتحليل العدد  نقوم بعمليات القسمة المتتالية التالية:

وبهذا يكون   .

(1.3) القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

[ Greatest Common Divisor and Least Common Multiple ]

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعين أو أكثر يرمز له بالرمز  هو أكبر قاسم مشترك بين جميع الأعداد. هناك العديد من الطرق لايجاد  نقدم منها طريقتين:

الطريقة الأولى: نقوم بكتابة قواسم كل من الأعداد ثم نبحث عن القواسم المشتركة ونأخذ أكبرها. فمثلاً، لإيجاد :

قواسم :

قواسم :

القواسم المشتركة :

أكبر القواسم المشتركة هو  وبهذا فإن

الطريقة الثانية: نقوم بتحليل كل من الأعداد إلى قوى عوامله الأولية ثم نأخذ الأعداد الأولية المشتركة بأصغر قوة فيكون القاسم المشترك الأكبر هو حاصل ضرب هذه الأعداد. فمثلاً، لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين  و  نقوم بتحليل كل منهما لنجد

العدد الأولي الوحيد المشترك بينهما هو  وظهر بقوة  في كلا التحليلين. إذن،

مثال (1) جد  للأعداد .

الحل

بتحليل كل من الأعداد الثلاثة نجد أن:

إذن، .                                     ¯

أما المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر يرمز له بالرمز  فهو أصغر مضاعف مشترك لهذه الأعداد. سنقدم طريقتين أيضاً لإيجاد :

الطريقة الأولى: نقوم بكتابة مضاعفات كل من الأعداد إلى أن نجد أول مضاعف مشترك فيكون هو المضاعف المشترك الأصغر، فمثلاً لإيجاد :

مضاعفات العدد :

مضاعفات العدد :

ولذا فإن أول مضاعف مشترك بينهما هو  ويكون .

الطريقة الثانية: نقوم بتحليل كل من الأعداد إلى قوى عوامله الأولية ثم نأخذ الأعداد الأولية التي تظهر بالتحليلين أو أحدهما بأعلى قوة فيكون المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب هذه الأعداد. فمثلاً، لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين  و  نقوم بتحليل كل منهما لنجد

وبهذا يكون .

مثال (2) جد .

الحل

نقوم بتحليل الأعداد فنجد

إذن، .                                  ¯

(1.4) الأعداد الصحيحة ( Integers )

تتكون الأعداد الصحيحة من الأعداد الطبيعية السالبة والصفر والأعداد الطبيعية وهي

ويمكن تمثيلها على خط الأعداد على النحو التالي:

وتتم عملية جمع عددين صحيحين وفق التالي:

(1)        عند جمع عددين صحيحين متفقين في الإشارة نقوم بجمعهما ووضع الإشارة. مثلاً

(2)        عند جمع عددين صحيحين مختلفين في الإشارة نطرح الصغير من الكبير ونضع إشارة العدد الكبير. فمثلاً

(3)        إشارة حاصل ضرب الأعداد الصحيحة تتبع القواعد التالية:

(4)        قواعد إشارة خارج قسمة عددين مماثلة لقواعد حاصل الضرب.

مثال (3) جد ناتج كل مما يلي:

(أ)               (ب)                 (ج)

(د)                     (هـ)               (و)

الحل

(أ)                      .

(ب)                           .

(ج)                               .

(د)                                .

(هـ)            

(و)                               .                             ¯

(1.5) أولوية العمليات [Order of Operations]

عادة ما تحتوي الصيغ على أكثر من عملية حسابية واحدة ولذا لا بد من الاتفاق على أي من هذه العمليات يتم تنفيذها قبل العمليات الأخرى. ولكي نضمن صواب حساباتنا نتبع الترتيب التالي:

(1)        نقوم بحساب ما داخل الأقواس. وإذا وجد أكثر من قوس نحسب ما داخل الأقواس الداخلية أولاً.

(2)        نقوم بحساب الحدود التي تحتوي على قوى.

(3)        نبدأ من اليسار إلى اليمين بحساب أي من عمليتي الضرب والقسمة.

(4)        نبدأ من اليسار إلى اليمين بحساب أي من عمليتي الجمع والطرح.

(5)        عند وجود علامة كسر فيجب حساب عمليات البسط والمقام أولاً ثم نجري عملية القسمة بعد ذلك.

مثال (4) جد ناتج كل مما يلي:

(أ)                                     (ب)

(ج)                         (د)

الحل

(أ)         

(ب)        

(ج)    

(د)                    .                   ¯

(1.6) الكسور والأعداد الكسرية

[Fractions and Rational Numbers]

الأعداد الكسرية هي الأعداد التي يمكن كتابتها كنسبة بين عددين صحيحين. أي الأعداد التي يمكن كتابتها على الصورة:  حيث  و  عددان صحيحان و . على سبيل المثال، كل من الأعداد التالية هو

 ،  ،  ،  ،  ،

لأنه يمكن كتابتها على الصورة  كالتالي:

 ،  ،  ،  ،  ،  .

أما الكسر فهو عدد كسري  حيث . يسمى العدد  بسط الكسر والعدد  مقام الكسر. مقلوب الكسر  هو الكسر .توجد عدة أنواع من الكسور هي:

الكسر الفعلي  حيث البسط  أصغر من المقام ، مثل، ، ، .

الكسر غير الفعلي  حيث البسط  أكبر من المقام ، مثل، ، ، .

العدد الكسري المخلوط  حيث  عدد صحيح و  كسر، وهذا يعني أن . مثل، .

يكون الكسران متكافئين إذا استطعنا الحصول على أحدهما من الآخر بعدد منته من عمليات ضرب (أو قسمة) كل من البسط والمقام بالعدد نفسه. مثلاً،

يتم جمع (أو طرح) كسرين بإيجاد كسر مكافئ لكل منهما بحيث يكون مقاما الكسرين المكافئين متساويين ومن ثم نقوم بجمع (أو طرح) البسطين.

مثال (5) جد ناتج كلاً مما يلي:

(أ)          (ب)          (ج)          (د)

الحل

(أ)                            .

(ب)         

لاحظ أن . ولذا لتوحيد المقامين ضربنا المقام  بالعدد  والمقام  بالعدد . كما قمنا بتحويل الكسر المخلوط  إلى كسر غير فعلي قبل إجراء عملية الجمع.

(ج)             

(د)            

¯

يتم ضرب الكسرين  و  وقسمتهما على النحو التالي:

أي بضرب البسطين معاً والمقامين معاً.

أي بإيجاد مقلوب المقسوم عليه وتحويل عملية القسمة إلى عملية ضرب.

مثال (6) احسب كلاً مما يلي:

(أ)                        (ب)                     (ج)         (د)

الحل

(أ)                    

(ب)      

(ج)                   

لاحظ أننا قمنا باختصار العدد  من بسط الكسر  مع العدد  من مقام الكسر وهذا جائز دائماً.

(د)      

¯

يظهر التعامل مع الكسور في العديد من المسائل الكلامية ونوضح ذلك ببعض الأمثلة.

مثال (7) سعر سيارة هوندا يساوي سعر سيارة . إذا كان سعر سيارة الـ  هو  ريال فما هو سعر سيارة الهوندا ؟

الحل

سعر سيارة الهوندا هو ريال.                ¯

مثال (8)الدخل الشهري لعائلة هو  ريال. تدفع العائلة  الدخل أجرة سكن وتصرف على الطعام  الدخل وتشتري ملابس بمقدار  الدخل وتصرف  من الدخل على الترفيه وتدخر الباقي. ما هي قيمة ادخار العائلة الشهري ؟

الحل

مجموع مصاريف العائلة الشهري هو

لاحظ أن     .

إذن، ادخار العائلة الشهري هو ريالاً.                 ¯

(1.7) الأعداد العشرية [Decimal Numbers]

العدد